题目

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已知三角形四心（外心，内心，重心，垂心）中某两心重合．求证：该三角形是正三角形．

【难度】

【出处】

无

【标注】

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三角形垂心的向量表达
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三角形内心的向量表达
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三角形外心的向量表达
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三角形重心的向量表达

【答案】

略

【解析】

设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，$a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 三个内角 $A,B,C$ 所对的边，则根据奔驰定理的四心形式可知，若 $O$ 分别为 $\triangle ABC$ 的外心，内心，重心，垂心时，则分别有$$\begin{split} &\sin 2A\cdot \overrightarrow{OA}+\sin 2B\cdot\overrightarrow{OB}+\sin 2C\cdot \overrightarrow{OC} =\overrightarrow 0,\\
&a\cdot\overrightarrow{OA}+b\cdot\overrightarrow{OB}+c\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\\
&\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\\
&\tan A\cdot\overrightarrow {OA}+\tan B\cdot\overrightarrow{OB}+\tan C\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\end{split}$$情形一若 $O$ 既为 $\triangle ABC$ 的外心，也为 $\triangle ABC$ 的内心，则有$$\dfrac a{\sin 2A}=\dfrac b{\sin 2B}=\dfrac c{\sin2C},$$所以$$\cos A=\cos B=\cos C,$$所以$$A=B=C,$$因此该种情形下可证出 $\triangle ABC$ 为正三角形．
情形二若 $O$ 既为 $\triangle ABC$ 的外心，也为 $\triangle ABC$ 的重心，则有$$\sin 2A=\sin 2B=\sin2C,$$所以$$0=\sin2A-\sin2B=2\sin(A-B)\cos(A+B),$$所以 $A=B$ 或 $A+B=\dfrac{\pi}{2}$，由于 $\triangle ABC$ 的重心与外心重合，因此不可能是直角三角形，所以$$A+B\neq \dfrac{\pi}{2},$$所以 $A=B$，同理可得$$B=C=A,$$因此该种情形下同样可证出 $\triangle ABC$ 为正三角形．
情形三若 $O$ 既为 $\triangle ABC$ 的外心，也为 $\triangle ABC$ 的垂心，则有$$\dfrac{\sin 2A}{\tan A}=\dfrac{\sin 2B}{\tan B}=\dfrac{\sin 2C}{\tan C},$$即$$\cos^2A=\cos^2B=\cos^2C,$$所以 $A=B$ 或 $A+B=\pi$（舍）．同理可得$$B=C=A,$$所以该种情形下可证出 $\triangle ABC$ 为正三角形．
情形四若 $O$ 既为 $\triangle ABC$ 的内心，也为 $\triangle ABC$ 的重心，则有$$a=b=c,$$显然 $\triangle ABC$ 为正三角形．
情形五若 $O$ 既为 $\triangle ABC$ 的内心，也为 $\triangle ABC$ 的垂心，则有$$\dfrac{a}{\tan A}=\dfrac b{\tan B}=\dfrac{c}{\tan C},$$所以$$\cos A=\cos B=\cos C,$$所以$$A=B=C,$$所以 $\triangle ABC$ 为正三角形．
情形六若 $O$ 既为 $\triangle ABC$ 的重心，也为 $\triangle ABC$ 的垂心，则有$$\tan A=\tan B=\tan C,$$进而$$A=B=C,$$因此 $\triangle ABC$ 为正三角形．
综上，一个三角形四心（外心，内心，重心，垂心）中任意两心重合，则这个三角形就是正三角形．

答案解析

设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，$a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 三个内角 $A,B,C$ 所对的边，则根据奔驰定理的四心形式可知，若 $O$ 分别为 $\triangle ABC$ 的外心，内心，重心，垂心时，则分别有$$\begin{split} &\sin 2A\cdot \overrightarrow{OA}+\sin 2B\cdot\overrightarrow{OB}+\sin 2C\cdot \overrightarrow{OC} =\overrightarrow 0,\\ &a\cdot\overrightarrow{OA}+b\cdot\overrightarrow{OB}+c\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\\ &\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\\ &\tan A\cdot\overrightarrow {OA}+\tan B\cdot\overrightarrow{OB}+\tan C\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\end{split}$$<case>情形一</case> 若 $O$ 既为 $\triangle ABC$ 的外心，也为 $\triangle ABC$ 的内心，则有$$\dfrac a{\sin 2A}=\dfrac b{\sin 2B}=\dfrac c{\sin2C},$$所以$$\cos A=\cos B=\cos C,$$所以$$A=B=C,$$因此该种情形下可证出 $\triangle ABC$ 为正三角形． <case>情形二</case> 若 $O$ 既为 $\triangle ABC$ 的外心，也为 $\triangle ABC$ 的重心，则有$$\sin 2A=\sin 2B=\sin2C,$$所以$$0=\sin2A-\sin2B=2\sin(A-B)\cos(A+B),$$所以 $A=B$ 或 $A+B=\dfrac{\pi}{2}$，由于 $\triangle ABC$ 的重心与外心重合，因此不可能是直角三角形，所以$$A+B\neq \dfrac{\pi}{2},$$所以 $A=B$，同理可得$$B=C=A,$$因此该种情形下同样可证出 $\triangle ABC$ 为正三角形． <case>情形三</case>若 $O$ 既为 $\triangle ABC$ 的外心，也为 $\triangle ABC$ 的垂心，则有$$\dfrac{\sin 2A}{\tan A}=\dfrac{\sin 2B}{\tan B}=\dfrac{\sin 2C}{\tan C},$$即$$\cos^2A=\cos^2B=\cos^2C,$$所以 $A=B$ 或 $A+B=\pi$（舍）．同理可得$$B=C=A,$$所以该种情形下可证出 $\triangle ABC$ 为正三角形． <case>情形四</case>若 $O$ 既为 $\triangle ABC$ 的内心，也为 $\triangle ABC$ 的重心，则有$$a=b=c,$$显然 $\triangle ABC$ 为正三角形． <case>情形五</case>若 $O$ 既为 $\triangle ABC$ 的内心，也为 $\triangle ABC$ 的垂心，则有$$\dfrac{a}{\tan A}=\dfrac b{\tan B}=\dfrac{c}{\tan C},$$所以$$\cos A=\cos B=\cos C,$$所以$$A=B=C,$$所以 $\triangle ABC$ 为正三角形． <case>情形六</case>若 $O$ 既为 $\triangle ABC$ 的重心，也为 $\triangle ABC$ 的垂心，则有$$\tan A=\tan B=\tan C,$$进而$$A=B=C,$$因此 $\triangle ABC$ 为正三角形． 综上，一个三角形四心（外心，内心，重心，垂心）中任意两心重合，则这个三角形就是正三角形．