已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-ax+a,a\in\mathbb R$，其中 $\mathrm{e}$ 为自然对数的底数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程；标注答案$y=(\mathrm{e}-1)x+1$解析当 $a=1$ 时，$$f(x)=\mathrm{e}^x-x+1,$$求导有$$f'(x)=\mathrm{e}^x-1,$$所以 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处的切线方程为$$y=f'(1)(x-1)+f(1)=(\mathrm{e}-1)x+1,$$
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讨论 $f(x)$ 的零点个数．标注答案当 $0\leqslant a<\mathrm{e}^2$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $0$；当 $a>\mathrm{e}^2$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $2$；当 $a<0$ 或 $a=\mathrm{e}^2$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $1$解析记 $f(x)$ 的零点个数为 $k$，$k\in\mathbb N$．若 $a=0$，显然 $k=0$．若 $a\neq 0$，则原题等价于讨论方程$$(x-1)\mathrm{e}^{-x}=\dfrac1a$$的解的个数．记$$g(x)=(x-1)\mathrm{e}^{-x},$$则其导函数\[g'(x)=(x-2)\cdot {\rm e}^{-x},\]于是有\[\begin{array}{c|ccccc}\hline
x&-\infty&(-\infty,2)&2&(2,+\infty)&\infty\\ \hline
g'(x)&&+&0&-&\\ \hline
g(x)&-\infty&\nearrow &{\rm e}^{-2}&\searrow&0 \\ \hline
\end{array}\]下面考虑函数 $h(x)=g(x)-m$ 的零点个数．情形一 当 $m>{\rm e}^{-2}$ 时，函数 $h(x)$ 没有零点．情形二 当 $m={\rm e}^{-2}$ 时，函数 $h(x)$ 有唯一零点 $x=2$．情形三 当 $m<{\rm e}^{-2}$ 时，若 $m\leqslant 0$，则当 $x>2$ 时，有 $h(x)>0$，没有零点；当 $x<2$ 时，取 $x_1=m$，则\[h(x_1)<(m-1)\cdot {\rm e}^0-m<0,\]于是函数 $h(x)$ 在 $(-\infty,2)$ 上有一个零点．
若 $m>0$，则\[h(0)=-m<0,\]且当 $x>2$ 时，有\[h(x)<\dfrac {x}{{\rm e}^x}-m<\dfrac 2x-m,\]于是取 $x_2=\max\left\{3,\dfrac 2m\right\}$，则有\[h(x_2)<0,\]于是函数在 $(-\infty,2)$ 和 $(2,+\infty)$ 上各有一个零点．
综上所述，当 $0\leqslant a<\mathrm{e}^2$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $0$；当 $a>\mathrm{e}^2$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $2$；当 $a<0$ 或 $a=\mathrm{e}^2$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
