试讨论函数 $f(x)=(1+2x){\rm e}^{2x}-\dfrac 1x-a$ 的零点个数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $1$；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $2$
【解析】
考虑函数\[g(x)=(1+2x){\rm e}^{2x}-\dfrac 1x\]的导函数\[g'(x)=4{\rm e}^{2x}(x+1)+\dfrac{1}{x^2},\]于是\[\begin{array} {c|cccccc}\hline
x&-\infty&(-\infty,0)&0^-&0^+&(0,+\infty)&+\infty \\ \hline
g'(x)&&+&&&+&\\ \hline
g(x)&0&\nearrow&+\infty&-\infty&\nearrow&+\infty \\ \hline
\end{array}\]情形一 $a\leqslant 0$．此时当 $x<0$ 时，有\[f(x)=g(x)-a>0,\]于是函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上没有零点．当 $x>0$ 时，考虑到 $x\leqslant 1$ 时，有\[f(x)\leqslant 3{\rm e}^2-\dfrac 1x-a,\]于是取 $x_1=\min\left\{\dfrac{1}{3{\rm e}^2-a},1\right\}$，则\[f(x_1)\leqslant 0,\]又\[f(1)=3{\rm e}^2-1-a>0,\]于是函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 $1$ 个零点．
情形二 $a>0$．此时当 $x<0$ 时，取 $x_2=\min\left\{-\dfrac 12,-\dfrac 1a\right\}$，则\[f(x)\leqslant -\dfrac 1x-a\leqslant 0,\]又当 $x\geqslant -\dfrac 12$ 时，有\[(1+2x){\rm e}^{2x}\geqslant 0,\]于是取 $x_3=\max\left\{-\dfrac{1}{a},-\dfrac 12\right\}$，则\[f(x_3)\geqslant -\dfrac 1x-a\geqslant 0,\]于是函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上有 $1$ 个零点．
当 $x>0$ 时，有\[f\left(\dfrac {1}{10}\right)<2{\rm e}^{0.2}-10-a<0,\]又取 $x_4=\max\left\{1,\dfrac{a+1}{2{\rm e}^2}\right\}$，则\[f(x_4)> 2x_4\cdot {\rm e}^2-a-1\geqslant 0,\]于是函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 $1$ 个零点．
综上所述，当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $1$；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $2$．
x&-\infty&(-\infty,0)&0^-&0^+&(0,+\infty)&+\infty \\ \hline
g'(x)&&+&&&+&\\ \hline
g(x)&0&\nearrow&+\infty&-\infty&\nearrow&+\infty \\ \hline
\end{array}\]
当 $x>0$ 时，有\[f\left(\dfrac {1}{10}\right)<2{\rm e}^{0.2}-10-a<0,\]又取 $x_4=\max\left\{1,\dfrac{a+1}{2{\rm e}^2}\right\}$，则\[f(x_4)> 2x_4\cdot {\rm e}^2-a-1\geqslant 0,\]于是函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 $1$ 个零点．
综上所述，当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $1$；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $2$．
答案
解析
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