已知右焦点为 $F$ 的椭圆 $M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}3=1$（$a>\sqrt 3$）与直线 $y=\dfrac{3}{\sqrt 7}$ 相交于 $P,Q$ 两点，且 $PF\perp QF$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $M$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}4+\dfrac {y^2}3=1$解析根据题意，弦 $PQ$ 的中点 $N\left(0,\dfrac{3}{\sqrt 7}\right)$，$F\left(\sqrt{a^2-3},0\right)$，于是由 $PF\perp FQ$ 可得\[PQ=2FN,\]进而\[\dfrac{4a}{\sqrt 7}=2\cdot \sqrt{a^2-3+\left(\dfrac 3{\sqrt 7}\right)^2},\]解得 $a=2$，于是椭圆 $M$ 的方程为\[\dfrac{x^2}4+\dfrac {y^2}3=1.\]
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设 $O$ 为坐标原点，$A,B,C$ 是椭圆 $E$ 上不同的三点，并且 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，试探究 $\triangle ABC$ 的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．标注答案定值，为 $\dfrac 92$解析作仿射变换 $(x,y)=\left(x',\dfrac bay'\right)$，则椭圆变为\[M':x'^2+y'^2=a^2,\]此时 $\triangle A'B'C'$ 的重心和外心均为 $O'$，因此 $\triangle A'B'C'$ 为正三角形，其面积为 $\dfrac{3\sqrt 3}4a^2$．回到原坐标系，可得 $\triangle ABC$ 的面积为定值 $\dfrac{3\sqrt 3}4ab$．代入题中数据，可得定值为\[\dfrac{3\sqrt 3}4ab=\dfrac{3\sqrt 3}4\cdot 2\cdot \sqrt 3=\dfrac 92.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
