题目 设函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-ax-\dfrac a2$，$x\in\mathbb R$，实数 $a\in [0,+\infty),\mathrm{e}\approx 2.71828\cdots$，$\sqrt{\mathrm{e}}\approx 1.64872\cdots$． 问题1 若 $f(x)\geqslant 0$ 在 $x\in \mathbb R$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围； 答案1 $\left[0,\sqrt{\rm e}\right]$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\mathrm{e}^x-a.$$<case>情形一</case> $a=0$ 时，有 $f(x)={\rm e}^x$，符合题意．<br/><case>情形二</case> $a>0$ 时，此时函数 $f(x)$ 在 $x=\ln a$ 处取得极小值，亦为最小值\[f\left(\ln a\right)=a\left(\dfrac 12-\ln a\right),\]因此题意即\[a\left(\dfrac 12-\ln a\right)\geqslant 0,\]解得\[0<a\leqslant{\rm e}.\]综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[0,\sqrt{\rm e}\right]$． 备注1 问题2 若 $\mathrm{e}^x\geqslant {\ln}x+m$ 对任意 $x>0$ 恒成立，求证：实数 $m$ 的最大值大于 $2.3$． 答案2 略 解析2 题意即证明\[\forall x>0,{\rm e}^x-\ln x-2.3\geqslant 0,\]令不等式左侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)={\rm e}^x-\dfrac 1x,\]因此函数 $\varphi(x)$ 的极值点在 $x=\dfrac 12$ 附近，尝试在 $\dfrac 12$ 处利用切线放缩，有\[\forall x>0,{\rm e}^x\geqslant \sqrt{\rm e}\cdot x+\dfrac{\sqrt {\rm e}}2,\]于是当 $x>0$ 时，有\[\varphi(x)\geqslant \sqrt{\rm e}\cdot x+\dfrac{\sqrt{\rm e}}2-\ln x,\]记不等式右侧的函数为 $\mu(x)$，则其导函数\[\mu'(x)=\sqrt{\rm e}-\dfrac 1x,\]于是 $\mu(x)$ 的极小值亦为最小值是\[\mu\left(\dfrac{1}{\sqrt{\rm e}}\right)=\dfrac 32+\dfrac{\sqrt{\rm e}}2>2.3,\]因此命题得证． 备注2