如图，在四面体 $PABC$ 中，$PC \perp AB$，$PA \perp BC$，点 $D,E,F,G$ 分别是棱 $AP,AC,BC,PB$ 的中点．
【难度】
【出处】
2011年高考北京卷（文）
【标注】
-
求证：$DE\parallel $ 平面 $BCP$；标注答案略解析因为 $D,E$ 分别为 $AP,AC$ 的中点，所以 $DE\parallel PC$．
又因为 $DE \not\subset $ 平面 $BCP$，所以 $DE\parallel $ 平面 $BCP$． -
求证：四边形 $DEFG$ 为矩形；标注答案略解析因为 $D,E,F,G$ 分别为 $AP,AC,BC,PB$ 的中点，所以\[DE\parallel PC\parallel FG,DG\parallel AB\parallel EF.\]所以四边形 $DEFG$ 为平行四边形．
又因为 $PC \perp AB$，所以 $DE \perp DG$，所以四边形 $DEFG$ 为矩形． -
是否存在点 $Q$，到四面体 $PABC$ 六条棱的中点的距离相等？说明理由．标注答案略解析存在点 $Q$ 满足条件，理由如下：
连接 $DF,EG$，设 $Q$ 为 $EG$ 的中点，
由（2）知，$DF \cap EG = Q$，且\[QD = QE = QF = QG = \dfrac{1}{2}EG.\]分别取 $PC,AB$ 的中点 $M,N$，连接 $ME,EN,NG,MG,MN$．
与（2）同理，可证四边形 $MENG$ 为矩形，其对角线交点为 $EG$ 的中点 $Q$，\[QM = QN = \dfrac{1}{2}EG,\]所以 $Q$ 为满足条件的点．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
