集合 $A$ 是由满足以下性质的函数 $f(x)$ 组成的：对于任意 $x\geqslant 0$，$f(x)\in[-2,4]$ 且 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是增函数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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试判断 $f_1(x)=\sqrt x -2$ 与 $f_2(x)=4-6\cdot \left(\dfrac 12\right)^x$（$x\geqslant 0$）是否属于集合 $A$，并说明理由；标注答案$f_1(x)\notin A,f_2(x)\in A$解析对于 $f_1(x)$：函数定义域为 $[0,+\infty)$，且 $f_1(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为增函数，因为$$\sqrt x\geqslant 0,$$所以 $f_1(x)$ 的值域为 $[-2,+\infty)$，故 $f_1(x)\notin A$．
对于 $f_2(x)$：因为 $y=\left(\dfrac 12\right)^x$ 为减函数，所以 $f_2(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上是增函数．
当 $x\geqslant 0$ 时，因为$$0<\left(\dfrac 12\right)^x\leqslant 1,$$所以$$-2\leqslant f_2(x)<4,$$故 $f_2(x)\in A$． -
对于（1）中你认为属于集合 $A$ 的函数 $f(x)$，证明：对于任意的 $x\geqslant 0$，都有 $f(x)+f(x+2)<2f(x+1)$．标注答案略解析根据题意可知$$f(x)=4-6\cdot \left(\dfrac 12\right)^x,$$因为\[\begin{split}&f(x)+f(x+2)-2f(x+1)\\=&4-6\cdot \left(\dfrac 12\right)^x+4-6\cdot \left(\dfrac 12\right)^{x+2}-8+12\cdot \left(\dfrac 12\right)^{x+1}\\=&6\cdot \left(\dfrac 12\right)^x\cdot \left(-1-(\dfrac 12)^2+2\cdot \dfrac 12\right)\\=&-3\cdot \left(\dfrac 12\right)^{x+1}<0,\end{split}\]所以对于任意的 $x\geqslant 0$，都有 $f(x)+f(x+2)<2f(x+1)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
