设 $F_k=2^{2^k}+1,k\geqslant 0$．证明：若 $m>n$，则 $F_n\mid(F_m-2)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
题目所证的式子为 $2^{2^n}+1\mid 2^{2^m}-1$，应联想到先证明$$2^{2^{n+1}}-1\mid 2^{2^m}-1,$$再利用$$2^{2^{n+1}}-1=\left(2^{2^{n}}-1\right)\left(2^{2^{n}}+1\right)$$证明原命题．将 $x^k-y^k$ 分解因式，即有$$x^k-y^k=(x-y)\left(x^{k-1}+x^{k-2}y+\cdots+y^{k-1}\right),$$令$$(x,y,k)=\left(2^{2^{n+1}},1,2^{m-n-1}\right),$$则得到$$2^{2^{n+1}}-1\mid 2^{2^m}-1,$$又$$2^{2^{n+1}}-1=\left(2^{2^{n}}-1\right)\left(2^{2^{n}}+1\right),$$故$$F_n\mid(F_m-2)$$得证．
答案
解析
备注
