设 $n$ 为奇数，证明：$n\mid \left(1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1{n-1}\right)\cdot (n-1)!$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意有$$\left(\dfrac1k+\dfrac1{n-k}\right)\cdot (n-1)!=\dfrac{n}{k(n-k)}\cdot (n-1)!,1\leqslant k\leqslant n-1,$$其中$$k(n-k)\mid (n-1)!,$$故有$$n\mid \dfrac{n}{k(n-k)}\cdot (n-1)!.$$所以设$$n=2m+1,m\geqslant 0,$$则$$\begin{split} (n-1)!\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac1k&=(n-1)!\sum_{k=1}^{2m}\dfrac1k\\
&=(n-1)!\sum_{k=1}^m\left(\dfrac1k+\dfrac1{2m-k+1}\right)\\
&=(n-1)!\sum_{k=1}^{m}\dfrac{n}{k(n-k)},\end{split}$$于是$$n\mid \left(1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1{n-1}\right)\cdot (n-1)!.$$原命题得证．
&=(n-1)!\sum_{k=1}^m\left(\dfrac1k+\dfrac1{2m-k+1}\right)\\
&=(n-1)!\sum_{k=1}^{m}\dfrac{n}{k(n-k)},\end{split}$$于是$$n\mid \left(1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1{n-1}\right)\cdot (n-1)!.$$原命题得证．
答案
解析
备注
