如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = {45^ \circ }$，$\angle BAC = {90^ \circ }$，$AD$ 是 $BC$ 上的高，沿 $AD$ 把 $\triangle ABD$ 折起，使 $\angle BDC = {90^ \circ }$．
【难度】
【出处】
2011年高考陕西卷（文）
【标注】
-
证明：平面 $ADB \perp 平面 BDC$；标注答案略解析$\because$ 折起前 $AD$ 是 $BC$ 边上的高，
$\therefore$ 当 $\triangle ABD$ 折起后，$AD \perp DC$，$AD \perp DB$，
又 $DB \cap DC = D$，$\therefore$ $AD \perp 平面 BDC$．
又 $\because$ $AD \subset 平面 ABD$．
$\therefore$ 平面 $ABD \perp 平面 BDC$． -
设 $BD = 1$，求三棱锥 $D - ABC$ 的表面积．标注答案略解析由（1）知，$DA \perp DB$，$DB \perp DC$，$DC \perp DA$．
因为 $DB = DA = DC = 1$，所以\[AB = BC = CA = \sqrt 2,\]从而\[\begin{split}{S_{\triangle DAB}} & = {S_{\triangle DBC}} \\& = {S_{\triangle DCA}} \\& = \dfrac{1}{2} \times 1 \times 1 \\& = \dfrac{1}{2}, \\ {S_{\triangle ABC}} & = \dfrac{1}{2} \times \sqrt 2 \times \sqrt 2 \times \sin 60^\circ \\& = \dfrac{\sqrt 3 }{2},\end{split}\]所以表面积\[S = \dfrac{1}{2} \times 3 + \dfrac{\sqrt 3 }{2} = \dfrac{3 + \sqrt 3 }{2}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
