甲应选择路径 ${L_1}$；乙应选择路径 ${L_2}$

分别计算甲乙两人选择 $ L_1 $ 与 $ L_2$ 的路径在允许的时间内到达的概率．${A_i}$ 表示事件"甲选择路径 ${L_i}$ 时，$ 40 $ 分钟内赶到火车站"，
${B_i}$ 表示事件"乙选择路径 ${L_i}$ 时，$ 50 $ 分钟内赶到火车站"，$i = 1,2$．
用频率估计相应的概率，则有：\[\begin{split}P\left({A_1}\right) & = 0.1 + 0.2 + 0.3 \\& = 0.6 , \\ P\left({A_2}\right) & = 0.1 + 0.4 \\& = 0.5;\end{split}\]因为 $P\left({A_1}\right) > P\left({A_2}\right)$，所以甲应选择路径 ${L_1}$；\[\begin{split}P\left({B_1}\right) & = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2\\& = 0.8 , \\ P\left({B_2}\right) &= 0.1 + 0.4 + 0.4 \\& = 0.9;\end{split}\]因为 $P\left({B_2}\right) > P\left({B_1}\right)$，所以乙应选择路径 ${L_2}$．

$X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
X & 0 & 1 & 2 \\ \hline
P & 0.04 & 0.42 & 0.54 \\ \hline
\end{array} \]数学期望为\[\begin{split}EX & = 0 \times 0.04 + 1 \times 0.42 + 2 \times 0.54 \\& = 1.5.\end{split}\]

考查随机变量的分布列与数学期望．用 $A$，$B$ 分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，
由（1）知\[P\left(A\right) = 0.6,P\left(B\right) = 0.9,\]又事件 $A$，$B$ 相互独立，$X$ 的取值是 $ 0,1,2 $，所以\[\begin{split}P\left(X = 0\right) & = P\left( {\overline A \overline B } \right) \\& = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) \\& = 0.4 \times 0.1 \\& = 0.04 , \\
P\left(X = 1\right) & = P\left( {\overline A B + A \overline B } \right) \\& = P\left( {\overline A } \right)P\left(B\right) + P\left(A\right)P\left( {\overline B } \right) \\& = 0.4 \times 0.9 + 0.6 \times 0.1 \\& = 0.42 , \\ P\left(X = 2\right) & = P\left(AB\right) \\& = P\left(A\right) \cdot P\left(B\right) \\& = 0.6 \times 0.9 \\& = 0.54,\end{split} \]所以 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
X & 0 & 1 & 2 \\ \hline
P & 0.04 & 0.42 & 0.54 \\ \hline
\end{array} \]所以\[\begin{split}EX & = 0 \times 0.04 + 1 \times 0.42 + 2 \times 0.54 \\& = 1.5.\end{split}\]