定长为 $d\left(d>\dfrac {2b^2}{a}\right)$ 的线段 $AB$ 的端点在双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的右支上运动，求线段 $AB$ 中点 $M$ 的轨迹方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$M(x,y)$，且直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则$$\begin{cases} x_1=x+\dfrac{d}{2}\cos\theta,\\ y_1=y+\dfrac{d}{2}\sin\theta,\end{cases}$$且$$\begin{cases} x_2=x-\dfrac{d}{2}\cos\theta,\\ y_2=y-\dfrac{d}{2}\sin\theta, \end{cases}$$代入方程 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 得$$\begin{cases} \mathrm{Eq1}:\dfrac{\left(x+\dfrac{d}{2}\cos\theta\right)^2}{a^2}-\dfrac{\left(y+\dfrac{d}{2}\sin\theta\right)^2}{b^2}=1,\\
\mathrm{Eq2}:\dfrac{\left(x-\dfrac{d}{2}\cos\theta\right)^2}{a^2}-\dfrac{\left(y-\dfrac{d}{2}\sin\theta\right)^2}{b^2}=1,
\end{cases}$$将 $\mathrm{Eq1}+\mathrm{Eq2}$ 可得$$\mathrm{Eq3}:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{d^2}{4}\left(\dfrac{\cos^2\theta}{a^2}-\dfrac{\sin^2\theta}{b^2}\right)=1,$$将 $\mathrm{Eq1}-\mathrm{Eq2}$ 可得$$\tan\theta=\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{b^2}{a^2}, $$所以$$\begin{cases}\cos^2\theta=\dfrac{y^2a^4}{x^2b^4+a^4y^2},\\\sin^2\theta=\dfrac{x^2b^4}{x^2b^4+a^4y^2}
,\end{cases}$$代入 $\mathrm{Eq3}$ 即得所求轨迹方程为$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{d^2}{4}\left(\dfrac{y^2a^2}{x^2b^4+a^4y^2}-\dfrac{x^2b^2}{x^2b^4+a^4y^2}\right)=1.$$
\mathrm{Eq2}:\dfrac{\left(x-\dfrac{d}{2}\cos\theta\right)^2}{a^2}-\dfrac{\left(y-\dfrac{d}{2}\sin\theta\right)^2}{b^2}=1,
\end{cases}$$将 $\mathrm{Eq1}+\mathrm{Eq2}$ 可得$$\mathrm{Eq3}:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{d^2}{4}\left(\dfrac{\cos^2\theta}{a^2}-\dfrac{\sin^2\theta}{b^2}\right)=1,$$将 $\mathrm{Eq1}-\mathrm{Eq2}$ 可得$$\tan\theta=\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{b^2}{a^2}, $$所以$$\begin{cases}\cos^2\theta=\dfrac{y^2a^4}{x^2b^4+a^4y^2},\\\sin^2\theta=\dfrac{x^2b^4}{x^2b^4+a^4y^2}
,\end{cases}$$代入 $\mathrm{Eq3}$ 即得所求轨迹方程为$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{d^2}{4}\left(\dfrac{y^2a^2}{x^2b^4+a^4y^2}-\dfrac{x^2b^2}{x^2b^4+a^4y^2}\right)=1.$$
答案
解析
备注
