题目 已知函数 $f(x)=(x-1){\rm e}^x-ax+1$． 问题1 设 $a=0$，求不等式 $f(x)\leqslant 0$ 的解集； 答案1 $\{0\}$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=x{\rm e}^x-a,\]当 $a=0$ 时，有\[\begin{array}{c|ccc}\hline<br/>x&(-\infty,0)&0&(0,+\infty)\\ \hline<br/>f'(x)&-&0&+\\ \hline<br/>f(x)&\searrow&0&\nearrow \\ \hline<br/>\end{array}\]此时题中不等式的解集为 $\{0\}$． 备注1 问题2 求证：对任意 $a>0$，都有 $f\left(\ln(1+a)\right)<0$； 答案2 略 解析2 欲证结论即\[\forall a>0,\left(\ln(1+a)-1\right)(1+a)-a\ln (1+a)+1<0,\]也即\[\forall a>0,\ln(1+a)-a<0,\]于是原命题得证． 备注2 问题3 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(t,\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)$，$f(x)$ 的值域为 $A$，试求对任意 $a>0$ 都有 $A\subseteq (-\infty,0)$ 的充要条件． 答案3 $t=0$ 解析3 注意到 $f(0)=0$，且函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，于是 $t\geqslant 0$．又\[f\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)=1-a+{\rm e}^t\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)-1\right).\]考虑到当 $x>1$ 时，有\[\ln x>\dfrac{2(x-1)}{x+1},\]于是\[f\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)>1-a+{\rm e}^t\left[\dfrac{2\left({\rm e}^t+a-1\right)}{{\rm e}^t+a+1}-1\right]=\dfrac{\left({\rm e}^t-1\right)^2-a^2}{{\rm e}^t+a+1}.\]当 $t>0$ 时，取 $a={\rm e}^t-1$，则有\[f\left(\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)>0,\]不符合题意．而当 $t=0$ 时，根据第 $(2)$ 小题的结论，满足题意．<br/>综上所述，所求充要条件为 $t=0$． 备注3