设 $x,y,z$ 为正实数，求证：$\displaystyle \sum_{cyc}\dfrac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}\geqslant 1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由柯西不等式知$$(xy+x^2+x^2)\cdot\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{z^2}{x^2}\right)\geqslant\left(y+\sqrt{zx}+z\right)^2,$$所以$$\sum_{cyc}\dfrac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}\geqslant \sum_{cyc}\dfrac{x^2}{xy+xz+z^2}\geqslant \dfrac{\left(\displaystyle\sum_{cyc}x\right)^2}{\displaystyle\sum_{cyc}\left(xy+xz+z^2\right)}=1,$$证毕．
答案
解析
备注
