题目 设实数数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $S_{n+1}=a_{n+1}S_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）． 问题1 若 $a_1,S_2,-2a_2$ 成等比数列，求 $S_2$ 和 $a_3$； 答案1 $S_2=-2$，$a_3=\dfrac 23$ 解析1 根据题意，有\[a_1+a_2=a_1\cdot a_2,\]于是由\[\dfrac{S_2}{a_1}=\dfrac{-2a_2}{S_2},\]可得\[S_2=a_1+a_2=a_1\cdot a_2=-2,\]又\[a_1+a_2+a_3=a_3\cdot (a_1+a_2),\]解得 $a_3=-\dfrac 23$． 备注1 问题2 求证：对 $k\geqslant 3$，有 $0\leqslant a_{k+1}\leqslant a_k\leqslant \dfrac 43$． 答案2 略 解析2 由已知条件可得$$S_n+a_{n+1}=a_{n+1}S_n,$$于是$$S_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+1}-1},$$因此$$\dfrac{a_{n+2}}{a_{n+2}-1}=a_{n+1}\cdot\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+1}-1},$$从而可得$$a_{n+2}=\dfrac{a_{n+1}^2}{a_{n+1}^2-a_{n+1}+1}.$$当 $a_3=0$ 时，$a_n=0$，命题成立；<br/>当 $a_3\neq 0$ 时，$a_n\neq 0$，此时$$a_{n+2}=\dfrac{1}{\left(\frac{1}{a_{n+1}}-\frac 12\right)^2+\frac 34},$$显然有$$0< a_{n+2}\leqslant \dfrac 43,$$进而$$\dfrac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{a_{n+1}+\frac{1}{a_{n+1}}-1}\leqslant 1,$$于是$$a_{n+2}\leqslant a_{n+1}.$$因此命题成立．<br/>综上所述，原命题得证． 备注2 每日一题[394]左右逢源．