题目 已知 $f(x)=\sin ^2x+a\sin x+\dfrac {a^2+b-1}{a}$． 问题1 若 $b=-2$，对于任意的 $x \in \mathbb R$，都有 $f(x)<0$ 成立，求 $a$ 的取值范围； 答案1 $(0,1)$ 解析1 函数 $f(x)$ 取得最大值时必然有 $\sin x=\pm 1$，于是 $f(x)$ 的最大值\[M(a,b)=\max\left\{1+2a+\dfrac ba-\dfrac 1a,1+\dfrac ba-\dfrac 1a\right\}.\]根据题意，有\[\begin{cases} 1+2a-\dfrac 3a<0,\\ 1-\dfrac 3a<0,\end{cases}\]解得 $a$ 的取值范围是 $(0,1)$． 备注1 问题2 设 $a \geqslant 2$，若存在 $x\in \mathbb R$，使 $f(x) \leqslant 0$ 成立，求 $a^2+b^2-8a$ 的最小值；当取得最小值时，求 $a$，$b$ 的值． 答案2 $a^2+b^2-8a$ 的最小值为 $-\dfrac {23}{2}$，该最小值在 $a= \dfrac {5}{2}$，$b=-\dfrac {3}{2}$ 时取得 解析2 由 $(1)$ 的分析可知，当 $\sin x=-1$ 时，$f(x)$ 取得最小值，故$$1-a+\dfrac {a^2+b-1}{a} \leqslant 0,$$得$$a+b-1 \leqslant 0.$$所以 $a,b$ 满足$$\begin{cases}a+b-1 \leqslant 0,\\ a\geqslant 2.\end{cases}$$如图所示，当以 $(4,0)$ 为圆心的圆与直线 $a+b-1=0$ 相切时，$a^2+b^2-8a$ 取得最小值为 $-\dfrac {23}{2}$，此时切点坐标为 $A(a,b)=\left(\dfrac 52,-\dfrac 32\right)$．<img src="/static/images/0853370b93ed9af483374b0a16a542f6.png" class="img-responsive" /> 备注2