已知点 $P(x_0,y_0)$，$x_0<0$，与抛物线方程 $y^2=2px,p>0$，求证：若过点 $P$ 作抛物线的两条切线 $PA,PB$ 互相垂直，则 $P$ 点在抛物线准线上，其中 $A,B$ 两点为切点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意设过点 $P$ 的直线斜率的倒数为 $m$，则直线 $PA,PB$ 可统一表示为$$x=m(y-y_0)+x_0,$$将直线方程与抛物线方程联立消去 $x$ 可得$$y^2-2pmy+2p(my_0-x_0)=0,$$由于直线与抛物线相切，所以以上关于 $y$ 的一元二次方程的判别式为 $0$，即$$\Delta=4p^2m^2-8p(my_0-x_0)=0.$$即得关于 $m$ 的一元二次方程$$pm^2-2my_0+2x_0=0,$$若分别记切线 $PA,PB$ 斜率的倒数为 $m_1,m_2$，由于两切线互相垂直，所以$$m_1\cdot m_2=-1,$$因此由韦达定理可得$$m_1m_2=\dfrac{2x_0}{p}=-1,$$所以$$x_0=-\dfrac p2.$$因此点 $P$ 在抛物线的准线上．
答案
解析
备注
