已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1,a_2=a>0$，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=a_n\cdot a_{n+1}$，若 $b_n=n+2$，求证：$\forall n\in \mathbb N^\ast,\dfrac1 {a_1}+\dfrac1{a_2}+\cdots+\dfrac1{a_n}>2\sqrt{n+2}-3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意当 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^\ast$ 时有$$\begin{cases} a_n\cdot a_{n+1}=n+2,\\
a_{n-1}\cdot a_n=n+1, \end{cases}$$两式作差可得$$a_n(a_{n+1}-a_{n-1})=1,$$即$$\dfrac1{a_n}=a_{n+1}-a_{n-1},$$设$$M=\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\cdots+\dfrac1{a_n},$$则有$$\begin{split} M&=1+(a_3-a_1)+(a_4-a_2)+\cdots+(a_n-a_{n-2})+(a_{n+1}-a_{n-1})\\
&=1+a_{n+1}+a_n-a_2-a_1\\
&=a_{n+1}a_n-3\\
&> 2\sqrt{a_{n+1}a_n}-3\\
&=2\sqrt{n+2}-3.\end{split}$$证毕．
a_{n-1}\cdot a_n=n+1, \end{cases}$$两式作差可得$$a_n(a_{n+1}-a_{n-1})=1,$$即$$\dfrac1{a_n}=a_{n+1}-a_{n-1},$$设$$M=\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\cdots+\dfrac1{a_n},$$则有$$\begin{split} M&=1+(a_3-a_1)+(a_4-a_2)+\cdots+(a_n-a_{n-2})+(a_{n+1}-a_{n-1})\\
&=1+a_{n+1}+a_n-a_2-a_1\\
&=a_{n+1}a_n-3\\
&> 2\sqrt{a_{n+1}a_n}-3\\
&=2\sqrt{n+2}-3.\end{split}$$证毕．
答案
解析
备注
