设 $a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 是 $1,2,\cdots,10$ 的一个排列．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $S=|2a_1-a_2|+|2a_2-a_3|+|2a_3-a_4|+\cdots+|2a_9-a_{10}|+|2a_{10}-a_1|$ 的最大值和最小值；标注答案略解析略
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求 $T=|2a_1-a_2|+|2a_3-a_4|+|2a_5-a_6|+|2a_7-a_8|+|2a_9-a_{10}|$ 的最大值和最小值．标注答案$65$；$4$解析若 $a_i>a_j$，则\[|2a_i-a_j|>|2a_j-a_i|,\]于是 $T$ 取最大值时有 $a_1>a_2$，$a_3>a_4$，$a_5>a_6$，$a_7>a_8$，$a_9>a_{10}$，此时\[T=2(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9)-(a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10}),\]根据排序不等式可得 $T$ 的最大值为\[2\cdot (6+7+8+9+10)-(1+2+3+4+5)=65,\]当\[(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10})=(10,5,9,4,8,3,7,2,6,1)\]时取得．
另一方面，当\[(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_{10})=(6,10,5,9,4,8,3,7,1,2)\]时 $T=4$，下面证明 $T\geqslant 4$．
用反证法，假设 $T\leqslant 3$．当 $7,9$ 位于同一个绝对值符号中时，显然有 $T\geqslant 6$；当 $7,9$ 位于不同的绝对值符号中时，这两个绝对值均不小于 $1$，此时包含 $10$ 的绝对值必然为 $0$，此时 $5$ 与 $10$ 在同一个绝对值符号，$7,9$ 需要和 $3,4$ 分别在同一个绝对值符号，进而包含 $6$ 的绝对值必然不小于 $2$，因此 $T\geqslant 4$，矛盾．
综上所述，$T$ 的最大值为 $65$，最小值为 $4$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
