如图，四边形 $ABCD$ 为正方形，$QA \perp $ 平面 $ABCD$，$PD\parallel QA$，$QA = AB = \dfrac{1}{2}PD$．
【难度】
【出处】
2011年高考辽宁卷（文）
【标注】
-
证明：$PQ \perp $ 平面 $DCQ$；标注答案略解析由条件知 $PDAQ$ 为直角梯形．
$\because$ $QA \perp $ 平面 $ABCD$，$\therefore$ 平面 $PDAQ \perp $ 平面 $ABCD$，交线为 $AD$．
又四边形 $ABCD$ 为正方形，$DC \perp AD$，$\therefore$ $DC \perp $ 平面 $PDAQ$，可得 $PQ \perp DC$．
在直角梯形 $PDAQ$ 中可得\[DQ = PQ = \frac{\sqrt 2 }{2}PD,\]则 $PQ \perp QD$．所以 $PQ \perp $ 平面 $DCQ$． -
求棱锥 $Q - ABCD$ 的体积与棱锥 $P - DCQ$ 的体积比值．标注答案略解析设 $AB = a$．由题设知 $AQ$ 为棱锥 $Q - ABCD$ 的高，
所以棱锥 $Q - ABCD$ 的体积\[{V_1} = \frac{1}{3}{a^3}.\]由（1）知 $PQ$ 为棱锥 $P - DCQ$ 的高，而 $PQ = \sqrt 2 a$，$\triangle DCQ$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt 2 }{2}{a^2}$，所以棱锥 $P - DCQ$ 的体积\[{V_2} = \dfrac{1}{3}{a^3}.\]故棱锥 $Q - ABCD$ 的体积与棱锥 $P - DCQ$ 的体积比值为 $ 1 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
