略

如图，以 $D$ 为坐标原点，线段 $ DA $ 的长为单位长，射线 $ DA $ 为 $ x $ 轴的正半轴建立空间直角坐标系 $ D-xyz $．依题意有\[Q\left( {1,1,0} \right),C\left( {0,0,1} \right),P\left( {0,2,0} \right).\]则\[\begin{split}\overrightarrow {DQ} & = \left( {1,1,0} \right), \\ \overrightarrow {DC} & = \left( {0,0,1} \right), \\ \overrightarrow {PQ} & = \left( {1, - 1,0} \right),\end{split}\]所以\[\overrightarrow {PQ} \cdot \overrightarrow {DQ} = 0 , \overrightarrow {PQ} \cdot \overrightarrow {DC} = 0.\]即\[PQ \perp DQ , PQ \perp DC.\]又 $DQ \cap DC = D,$ 所以\[PQ \perp 平面DCQ.\]又 $PQ \subset $ 平面 $PQC$，所以\[平面PQC \perp 平面DCQ.\]

略

依题意有 $B\left( {1,0,1} \right)$，则\[\begin{split}\overrightarrow {CB} & = \left( {1,0,0} \right), \\ \overrightarrow {BP} & = \left( { - 1,2, - 1} \right).\end{split}\]设 $\overrightarrow n = \left( {x,y,z} \right)$ 是平面 $PBC$ 的法向量，则\[\begin{cases}\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {CB} = 0, \\
\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {BP} = 0, \\
\end{cases}\]即\[\begin{cases}x = 0, \\
- x + 2y - z = 0. \\
\end{cases}\]因此可取\[\overrightarrow n = \left( {0, - 1, - 2} \right).\]设 $\overrightarrow m$ 是平面 $PBQ$ 的法向量，则\[\begin{cases}\overrightarrow m \cdot \overrightarrow {BP} = 0, \\
\overrightarrow m \cdot \overrightarrow {PQ} = 0. \\
\end{cases}\]可取\[\overrightarrow m = \left( {1,1,1} \right).\]所以\[\cos \left\langle \overrightarrow m,\overrightarrow n \right\rangle =\dfrac{\overrightarrow m \cdot \overrightarrow n }{{\left| {\overrightarrow m } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}}= - \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}.\]故二面角 $Q - BP - C$ 的余弦值为 $ - \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}$．