题目 已知函数 $f(x)={\log_2}{\dfrac{x-a}{x+1}}$，$a\in \mathbb R$，且函数 $f(x)$ 是奇函数． 问题1 求 $a$ 的值； 答案1 $a=1$ 解析1 因为 $f(x)$ 为奇函数，所以定义域一定关于原点对称，所以 $a=1$，此时$$f(x)={\log_2}{\dfrac{x-1}{x+1}},$$定义域为 $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$，验证可知 $f(x)$ 为奇函数． 备注1 问题2 当 $x\in[-4,-2]$ 时，不等式 $f(x)\geqslant {\log_2}(1-mx)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围； 答案2 $\left(-\dfrac 14,\dfrac 16\right]$ 解析2 题目即$$\forall x\in[-4,-2],{\log_2}{\dfrac{x-1}{x+1}}\geqslant {\log_2}(1-mx).$$亦即$$\forall x\in [-4,-2],\begin{cases}\dfrac{x-1}{x+1}\geqslant 1-mx,\\ 1-mx>0.\end{cases}$$而 $x+1<0$，所以$$\forall x\in [-4,-2],\begin{cases}mx^2+mx-2\leqslant 0,\\ 1-mx>0.\end{cases}$$记 $g(x)=mx^2+mx-2$，$h(x)=1-mx$，则根据题意有$$\begin{cases}g(-4)\leqslant 0,\\ g(-2)\leqslant 0,\\ h(-4)>0,\\ h(-2)>0,\end{cases}$$得到必要条件为$$-\dfrac 14<m\leqslant \dfrac 16.$$<case>情形一</case> 当 $-\dfrac 14<m<0$ 时，$g(x),h(x)$ 在 $[-4,-2]$ 上均单调递增，所以$$g(x)_{\max}=g(-2)<0,h(x)_{\min}=h(-4)>0,$$满足题意；<br/><case>情形二</case> 当 $m=0$ 时，显然满足题意；<br/><case>情形三</case> 当 $0<m\leqslant \dfrac 16$ 时，$h(x)>0$ 恒成立，而 $g(x)$ 在 $[-4,-2]$ 上单调递减，所以$$g(x)_{\max}=g(-4)\leqslant 0,$$满足题意．<br/>综上，$m$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 14,\dfrac 16\right]$． 备注2 问题3 设函数 $g(x)=f(x)+{\log_2}{\dfrac 2{x-1}}$，若 $x_1,x_2$ 是函数 $g(x)$ 定义域上的任意两个变量，试比较 $g\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)$ 与 $\dfrac{g(x_1)+g(x_2)}{2}$ 的大小，并给出证明． 答案3 $g\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)\leqslant \dfrac{g(x_1)+g(x_2)}{2}$ 解析3 根据题意有$$g(x)={\log_2}{\dfrac{2}{x+1}},$$且 $g(x)$ 的定义域为 $(1,+\infty)$．<br/>对任意 $x_1,x_2\in(1,+\infty)$ 有$$\begin{split}2g\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)&={\log_2}{\dfrac{16}{(x_1+x_2+2)^2}},\\ g(x_1)+g(x_2)&={\log_2}{\dfrac 4{(x_1+1)(x_2+1)}}={\log_2}{\dfrac{16}{4(x_1+1)(x_2+1)}}.\end{split}$$当 $x_1=x_2$ 时，显然有$$g\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)= \dfrac{g(x_1)+g(x_2)}{2}.$$当 $x_1\ne x_2$ 时，因为$$(x_1+x_2+2)^2-4(x_1+1)(x_2+1)=(x_1-x_2)^2>0,$$所以$$(x_1+x_2+2)^2>4(x_1+1)(x_2+1),$$所以$$0<\dfrac{16}{(x_1+x_2+2)^2}<\dfrac{16}{4(x_1+1)(x_2+1)},$$因此$${\log_2}\dfrac{16}{(x_1+x_2+2)^2}<{\log_2}\dfrac 4{(x_1+1)(x_2+1)},$$即$$g\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)< \dfrac{g(x_1)+g(x_2)}{2}.$$综上，对任意 $x_1,x_2\in(1,+\infty)$，$$g\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)\leqslant \dfrac{g(x_1)+g(x_2)}{2}.$$ 备注3