题目 已知函数 $f(x)=x^2+(m-1)x-m$，$m$ 为实数． 问题1 若关于 $x$ 的不等式 $f(x)<0$ 的解集为 $(1,2)$，求实数 $m$ 的值； 答案1 $-2$ 解析1 根据题意可知 $1,2$ 为关于 $x$ 的方程$$x^2+(m-1)x-m=0$$的两个根，所以 $m=-2$． 备注1 问题2 设 $m>0$，当 $x\in[-1,2]$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值（用 $m$ 表示）； 答案2 当 $m\geqslant 3$ 时，$f(x)$ 的最小值为 $2-2m$；<br/>当 $0<m<3$ 时，$f(x)$ 的最小值为 $-\dfrac{(m+1)^2}{4}$ 解析2 函数 $f(x)$ 图象的对称轴方程为$$x=\dfrac{1-m}{2}.$$因为 $m>0$，所以$$\dfrac{1-m}{2}<\dfrac 12<2.$$由$$\dfrac{1-m}{2}= -1$$得 $m=3$，故 $m$ 的讨论分界点为 $0,3$．<br/>当 $m\geqslant 3$ 时，$f(x)$ 在 $[-1,2]$ 上单调递增，设 $f(x)_{\min}$ 为 $f(x)$ 的最小值，则$$f(x)_{\min}=f(-1)=2-2m.$$当 $0<m<3$ 时，$f(x)$ 在 $\left[-1,\dfrac{1-m}{2}\right)$ 上单调递减，在 $\left[\dfrac{1-m}{2},2\right]$ 上单调递增，所以$$f(x)_{\min}=f\left(\dfrac{1-m}{2}\right)=-\dfrac{(m+1)^2}{4}.$$综上，当 $m\geqslant 3$ 时，$f(x)$ 的最小值为 $2-2m$；当 $0<m<3$ 时，$f(x)$ 的最小值为 $-\dfrac{(m+1)^2}{4}$． 备注2 问题3 若关于 $x$ 的不等式 $f(x)<\dfrac 12 x+1$ 的解集中恰好有两个整数解，求 $m$ 的取值范围． 答案3 $\left[-\dfrac 74,-1\right]\cup\left[0,\dfrac 34\right]$ 解析3 不等式 $f(x)<\dfrac 12+1$ 可化为$$x^2+\left(m-\dfrac 32\right)-m-1<0,$$记不等式左边为 $g(x)$，则题目转化为$$g(x)<0$$的解集中恰好有两个整数解．<br/>注意到$$g(1)=-\dfrac 32<0,$$所以 $x=1$ 必为 $g(x)<0$ 的一个整数解，因此另一个整数解可能为 $0$ 或 $2$．<br/><case>情形一</case> 当整数解为 $0,1$ 时，根据题意有$$\begin{cases}g(-1)\geqslant 0,\\ g(0)<0,\\ g(1)<0,\\ g(2)\geqslant 0,\end{cases}$$解得$$0\leqslant m\leqslant \dfrac 34.$$<case>情形二</case> 当整数解为 $1,2$ 时，根据题意有$$\begin{cases}g(0)\geqslant 0,\\ g(1)<0,\\ g(2)<0,\\ g(3)\geqslant 0,\end{cases}$$解得$$-\dfrac 74\leqslant m\leqslant -1.$$综上，$m$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 74,-1\right]\cup\left[0,\dfrac 34\right]$． 备注3