已知 $a>0$ 且 $a\ne 2$，求证：$\dfrac{(a-2)n\cdot a^n}{a^n-2^n}\leqslant \dfrac{a^{n+1}}{2^{n+1}}+1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，欲证不等式即\[\dfrac{2\left(\dfrac a2-1\right)n\cdot\left(\dfrac a2\right)^n}{\left(\dfrac a2\right)^n-1}\leqslant\left(\dfrac a2\right)^{n+1}+1,\]也即\[\dfrac{2n(x-1)x^n}{x^n-1}\leqslant x^{n+1}+1,\]也即\[\left(1+x^{n+1}\right)\left(1+x+\cdots+x^{n-1}\right)\geqslant 2nx^n,\]而根据均值不等式\[LHS\geqslant 2\cdot x^{\frac {n+1}2}\cdot n\cdot x^{\frac{n-1}2}=RHS,\]于是原命题得证．
答案
解析
备注
