已知 $M=\sqrt{2017\sqrt{2018\sqrt{2019\sqrt{\cdots\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}}}$，求不超过 $M$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2017$
【解析】
考虑到对任意正整数 $k\geqslant 2$，则\[\sqrt{k(k+2)}<k+1,\]于是\[\begin{split} \sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}&<2017^2,\\
\sqrt{\left(2017^2-2\right)\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}&<2017^2-1,\\
\sqrt{\left(2017^2-3\right)\sqrt{\left(2017^2-2\right)\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}&<2017^2-2,\\
\cdots,\\
\sqrt{2018\sqrt{2019\sqrt{\cdots\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}}&<2019,\\
\sqrt{2017\sqrt{2018\sqrt{2019\sqrt{\cdots\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}}}&<2018,\end{split}\]另一方面，有\[\begin{split} M&=\sqrt{2017\sqrt{2018\sqrt{2019\sqrt{\cdots\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}}}\\
&>\sqrt{2017\sqrt{2017\sqrt{2017\sqrt{\cdots\sqrt{2017\sqrt{2017^2}}}}}}\\
&=2017,\end{split}\]于是不超过 $M$ 的最大整数为 $2017$．
\sqrt{\left(2017^2-2\right)\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}&<2017^2-1,\\
\sqrt{\left(2017^2-3\right)\sqrt{\left(2017^2-2\right)\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}&<2017^2-2,\\
\cdots,\\
\sqrt{2018\sqrt{2019\sqrt{\cdots\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}}&<2019,\\
\sqrt{2017\sqrt{2018\sqrt{2019\sqrt{\cdots\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}}}&<2018,\end{split}\]另一方面，有\[\begin{split} M&=\sqrt{2017\sqrt{2018\sqrt{2019\sqrt{\cdots\sqrt{\left(2017^2-1\right)\sqrt{2017^2}}}}}}\\
&>\sqrt{2017\sqrt{2017\sqrt{2017\sqrt{\cdots\sqrt{2017\sqrt{2017^2}}}}}}\\
&=2017,\end{split}\]于是不超过 $M$ 的最大整数为 $2017$．
答案
解析
备注
