题目 已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\dfrac ax$，$a$ 为实常数． 问题1 当 $a>0$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间； 答案1 函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$；函数 $f(x)$ 没有单调递减区间 解析1 根据题意，有 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x\cdot x^2+a}{x^2}.\]当 $a>0$ 时，有 $f'(x)>0$，因此函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$；函数 $f(x)$ 没有单调递减区间． 备注1 问题2 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上存在极值点，且极值大于 $\ln 4+2$，求 实数 $a$ 的取值范围． 答案2 $\left(-\infty,-2\ln^22\right)$ 解析2 考虑函数 $\varphi(x)={\rm e}^x\cdot x^2+a$，则其导函数\[\varphi'(x)={\rm e}^x\cdot x(x+2),\]于是函数 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，进而可得当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上存在极小值点，记该极小值点为 $x=m$，则\[{\rm e}^m\cdot m^2+a=0,\]且\[f(m)={\rm e}^m-\dfrac am>\ln 4+2,\]也即\[{\rm e}^m+{\rm e}^m\cdot m>\ln 4+2,\]注意到上述不等式左侧关于 $m$ 单调递增，且当 $m=\ln 2$ 时两边相等，因此可解得\[m>\ln 2.\]进而结合\[a=-{\rm e}^m\cdot m^2,\]由函数 $\varphi(x)$ 单调递增可得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-2\ln^22\right)$． 备注2 $\varphi(x)$ 的单调性也可以不求导直接得到．