题目 已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\dfrac 12ax^2$（$x>0$）． 问题1 当 $a=2$ 时，求证：$f(x)>1$； 答案1 略 解析1 欲证结论即当 $x>0$ 时，有\[{\rm e}^x>x^2+1,\]也即\[\left(x^2+1\right)\cdot {\rm e}^{-x}<1.\]设左侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)=-{\rm e}^{-x}\cdot (x-1)^2\leqslant 0,\]因此 $\varphi(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减，从而当 $x>0$ 时，有\[\varphi(x)<\varphi(0)=1,\]命题得证． 备注1 问题2 是否存在正整数 $a$，使得 $f'(x)\geqslant x^2\ln x$ 对一切 $x>0$ 恒成立？若存在，求出 $a$ 的最大值；若不存在，请说明理由． 答案2 $2$ 解析2 题意即\[\forall x>0,{\rm e}^x-ax\geqslant x^2\ln x,\]也即\[\forall x>0,a\leqslant \dfrac{{\rm e}^x}{x}-x\ln x.\]设右侧函数为 $\mu(x)$，则\[a\leqslant \mu(1)={\rm e},\]接下来证明 $a=2$ 符合题意．只需要证明\[\forall x>0,\dfrac{{\rm e}^x}x-x\ln x\geqslant 2.\]也即\[\forall x>0,\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-\ln x-\dfrac{2}{x}\geqslant 0,\]记\[g(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x^2}-\ln x-\dfrac{2}{x},\]则其导函数\[g'(x)=\dfrac{x-2}{x^2}\cdot \left(\dfrac{{\rm e}^x}x-1\right),\]于是当 $x=2$ 时，$g(x)$ 取得极小值，亦为最小值\[\begin{split} g(2)&=\dfrac 14{\rm e}^2-\ln 2-1\\<br/>&>\dfrac 14\left(\dfrac{19}7\right)^2-\dfrac 34-1\\<br/>&=\dfrac{9}{98}>0.\end{split}\]综上所述，正整数 $a$ 的最大值为 $2$． 备注2