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  利用导数研究函数的单调性

函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(0,\dfrac 12\right)$

当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{(x+1)(2x-1)}{x},\]于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(\dfrac 12,+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(0,\dfrac 12\right)$．

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  极限叙述

$(-\infty,2]$

函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)={\rm e}^{-x}\left(f'(x)-f(x)\right)={\rm e}^{-x}\left(2x+a-\dfrac 1x-x^2-ax+\ln x\right),\]因此根据题意有\[\forall x\in (0,1],x^2+\dfrac 1x-2x-\ln x+a(x-1)\geqslant 0.\]记不等式左侧函数为 $h(x)$，则注意到 $h(1)=0$，而其导函数\[h'(x)=2x-\dfrac 1{x^2}-2-\dfrac 1x+a,\]有 $h'(1)=a-2$，因此讨论分界点为 $a=2$．
情形一 $a\leqslant 2$．此时\[h'(x)\leqslant 2x-\dfrac 1{x^2}-\dfrac 1x=\dfrac{(x-1)\left(2x^2+2x+1\right)}{x^2}\leqslant 0,\]于是在 $(0,1]$ 上，$h(x)$ 单调递减，于是\[h(x)>h(1)=0,\]符合题意．
情形二 $a>2$．此时\[h'(x)=\left(-\dfrac{x^2+2x+1}{x^2}\right)\cdot (1-x)+a-2,\]而当 $\dfrac 12\leqslant x\leqslant 1$ 时，有\[-\dfrac{x^2+2x+1}{x^2}\geqslant -9,\]于是当 $\dfrac 12\leqslant x\leqslant 1$ 时，有\[h'(x)\geqslant -9(1-x)+a-2,\]因此在区间 $\left(1-\dfrac{a-2}{9},1\right]$ 上有 $h'(x)>0$，因此函数 $h(x)$ 在 $\left(1-\dfrac{a-2}{9},1\right]$ 上单调递增，于是该区间上\[h(x)<h(1)=0,\]不符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,2]$．