已知函数 $f(x)=x^2-1$，求函数 $f(f(f(x)))$ 的单调性．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty,-\sqrt 2\right)$ 上单调递减，在 $\left(-\sqrt 2,-1\right)$ 上单调递增，在 $\left(-1,0\right)$ 上单调递减，在 $\left(0,1\right)$ 上单调递增，在 $\left(1,\sqrt 2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt 2,+\infty\right)$ 上单调递增
【解析】
先考虑 $g(x)=f(f(x))$ 的单调性，即 $f\left(x^2-1\right)$ 的单调性．由于函数 $f(t)$ 单调性的分界点为 $t=0$，因此解方程\[x^2-1=0,\]可得 $x=-1_{(1)},1_{(1)}$，再加上 $t=x^2-1$ 单调性的分界点 $x=0_{(1)}$，可得所有分界点为\[-1_{(1)},0_{(1)},1_{(1)},\]因此单调性变化如下表\[\begin{array} {c|ccccc}\hline
x&(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,1)&(1,+\infty)\\ \hline
g(x)&\searrow&\nearrow&\searrow&\nearrow\\ \hline\end{array}\]再考虑 $h(x)=g(f(x))$ 的单调性，由于函数 $g(t)$ 单调性的分界点为 $t=-1,0,1$，于是解方程\[x^2-1=-1,0,1,\]可得分界点 $x=-\sqrt 2_{(1)},-1_{(1)},0_{(2)},1_{(1)},\sqrt 2_{(1)}$，再加上 $t=x^2-1$ 单调性的分界点 $x=0_{(1)}$，可得所有分界点为\[-\sqrt 2_{(1)},-1_{(1)},0_{(3)},1_{(1)},\sqrt 2_{(1)},\]因此单调性变化如下表\[\begin{array} {c|cccccc}\hline
x&\left(-\infty,-\sqrt 2\right)&\left(-\sqrt 2,-1\right)&\left(-1,0\right)&\left(0,1\right)&\left(1,\sqrt 2\right)&\left(\sqrt 2,+\infty\right)\\ \hline
h(x)&\searrow&\nearrow&\searrow&\nearrow&\searrow&\nearrow \\ \hline\end{array}\]
x&(-\infty,-1)&(-1,0)&(0,1)&(1,+\infty)\\ \hline
g(x)&\searrow&\nearrow&\searrow&\nearrow\\ \hline\end{array}\]再考虑 $h(x)=g(f(x))$ 的单调性，由于函数 $g(t)$ 单调性的分界点为 $t=-1,0,1$，于是解方程\[x^2-1=-1,0,1,\]可得分界点 $x=-\sqrt 2_{(1)},-1_{(1)},0_{(2)},1_{(1)},\sqrt 2_{(1)}$，再加上 $t=x^2-1$ 单调性的分界点 $x=0_{(1)}$，可得所有分界点为\[-\sqrt 2_{(1)},-1_{(1)},0_{(3)},1_{(1)},\sqrt 2_{(1)},\]因此单调性变化如下表\[\begin{array} {c|cccccc}\hline
x&\left(-\infty,-\sqrt 2\right)&\left(-\sqrt 2,-1\right)&\left(-1,0\right)&\left(0,1\right)&\left(1,\sqrt 2\right)&\left(\sqrt 2,+\infty\right)\\ \hline
h(x)&\searrow&\nearrow&\searrow&\nearrow&\searrow&\nearrow \\ \hline\end{array}\]
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