已知实数 $a,b$ 满足 $a+b=2$，求证：$a^{2017}\cdot 2^a+b^{2017}\cdot 2^b\geqslant 4$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $a\leqslant b$．
情形一 当 $a<0$ 时，有 $b>2$，从而有\[a^{2017}\cdot 2^a+b^{2017}\cdot 2^b>2^{2017}>4,\]命题成立．
情形二 当 $a\geqslant 0$ 时，由切比雪夫不等式与均值不等式可得\[\begin{split} a^{2017}\cdot 2^a+b^{2017}\cdot 2^b&\geqslant \dfrac 12\cdot \left(a^{2017}+b^{2017}\right)\cdot \left(2^a+2^b\right)\\
&\geqslant \left(\dfrac{a+b}2\right)^{2017}\cdot 2\sqrt{2^a\cdot 2^b}\\
&=4,\end{split}\]命题成立．
综上所述，原命题得证．
&\geqslant \left(\dfrac{a+b}2\right)^{2017}\cdot 2\sqrt{2^a\cdot 2^b}\\
&=4,\end{split}\]命题成立．
综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
