已知 $0<x<y$，求证：$x\ln x+y\ln y>(x+y)\ln\dfrac{x+y}2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
考虑证明当 $0<x<y$ 时，有\[y\ln y-\dfrac{x+y}2\ln\dfrac{x+y}2>\dfrac{x+y}2\ln\dfrac{x+y}2-x\ln x,\]记 $f(x)=x\ln x$，只需要证明当 $x,m>0$ 时函数\[h(x)=f(x+m)-f(x)\]单调递增，然后取 $m=\dfrac {y-x}2$ 即得．事实上，有\[\begin{split} h'(x)&=f'(x+m)-f'(x)\\
&=1+\ln(x+m)-(1+\ln x)\\
&=\ln\left(1+\dfrac mx\right)\\
&>0,\end{split}\]于是 $h(x)$ 单调递增，原命题得证．
&=1+\ln(x+m)-(1+\ln x)\\
&=\ln\left(1+\dfrac mx\right)\\
&>0,\end{split}\]于是 $h(x)$ 单调递增，原命题得证．
答案
解析
备注
