已知 $n$ 是不小于 $2$ 的正整数，求证：\[\dfrac{1}{2n-1}<\sum_{k=n}^{\infty}\dfrac{1}{2k^2-2k+1}<\dfrac{1}{2n-2}.\]
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{1}{2k^2-2k+1}=\dfrac{1}{2\left(k-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 12},\]于是问题转化为证明\[\dfrac{2}{2n-1}<\sum_{k=n}^{\infty}\dfrac{1}{\left(k-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 14}<\dfrac{1}{n-1}.\]左边不等式 根据题意有\[\begin{split} \sum_{k=n}^{\infty}\dfrac{1}{\left(k-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 14}&>\sum_{k=n}^{\infty}\dfrac{1}{\left(k-\dfrac 12\right)\left(k+\dfrac 12\right)}\\
&=\dfrac{2}{2n-1},\end{split}\]于是不等式成立．
右边不等式 根据题意有\[\begin{split} \sum_{k=n}^{\infty}\dfrac{1}{\left(k-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 14}&<\sum_{k=n}^{\infty}\dfrac{1}{\left(k-\dfrac 12\right)^2-\dfrac 14}\\
&=\sum_{k=n}^{\infty}\dfrac{1}{(k-1)\cdot k}\\
&=\dfrac{1}{n-1},\end{split}\]于是不等式成立．
综上所述，原命题得证．
&=\dfrac{2}{2n-1},\end{split}\]于是不等式成立．
&=\sum_{k=n}^{\infty}\dfrac{1}{(k-1)\cdot k}\\
&=\dfrac{1}{n-1},\end{split}\]于是不等式成立．
综上所述，原命题得证．
答案
解析
备注
