题目 设 $a>0$ 且 $a\ne 1$，函数 $f(x)=a^x+x^2-x\ln a-a$． 问题1 当 $a={\rm e}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间； 答案1 函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,+\infty)$，单调递减区间是 $(-\infty,0)$ 解析1 当 $a={\rm e}$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x+2x-1,\]于是\[\begin{array} {c|ccc}\hline<br/>x&(-\infty,0)&0&(0,+\infty)\\ \hline<br/>f'(x)&-&0&+ \\ \hline<br/>f(x)&\searrow&{\rm lmin}&\nearrow \\ \hline\end{array}\]于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,+\infty)$，单调递减区间是 $(-\infty,0)$． 备注1 问题2 求函数 $f(x)$ 的最小值； 答案2 $1-a$ 解析2 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\left(a^x-1\right)\ln a+2x,\]注意到 $f'(0)=0$，且无论 $0<a<1$ 还是 $a>1$ 都有\[\begin{array} {c|ccc}\hline<br/>x&(-\infty,0)&0&(0,+\infty)\\ \hline<br/>f'(x)&-&0&+ \\ \hline<br/>f(x)&\searrow&{\rm lmin}&\nearrow \\ \hline\end{array}\]于是 $f(x)$ 的极小值亦为最小值是\[f(0)=1-a.\] 备注2 问题3 指出函数 $f(x)$ 的零点个数，并说明理由． 答案3 函数 $f(x)$ 的零点个数为\[\begin{cases} 2,&a>1,\\0,&0<a<1.\end{cases}\] 解析3 根据第 $(2)$ 小题的结论，当 $0<a<1$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $0$；下面证明当 $a>1$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $2$．<br/><case>情形一</case>区间 $(-\infty,0)$ 上．考虑到\[f(x)>x^2-a,\]于是取 $x_1=\sqrt a$，则有 $f(x_1)>0$，于是在区间 $(x_1,0)$ 上函数 $f(x)$ 有零点．<br/><case>情形二</case>区间 $(0,+\infty)$ 上．考虑到\[f(x)>x^2-x\ln a-a=\dfrac 12x^2-a+\dfrac 12x\left(x-2\ln a\right),\]于是取\[x_2=\max\left\{\sqrt{2a},2\ln a\right\},\]则有 $f(x_2)>0$，于是在区间 $(0,x_2)$ 上函数 $f(x)$ 有零点．<br/>结合函数的单调性可知以上两种情形函数 $f(x)$ 的零点均唯一，因此当 $a>1$ 时，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $2$．<br/>综上所述，函数 $f(x)$ 的零点个数为\[\begin{cases} 2,&a>1,\\0,&0<a<1.\end{cases}\] 备注3