若 $\alpha,\beta,\gamma$ 为锐角，且 $\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=1$，求 $\dfrac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma}$ 的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt2}{2}$
【解析】
根据题意设正实数 $a,b,c,r$ 满足$$a^2+b^2+c^2=r^2.$$分别令$$(\sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma)=\left(\dfrac ar,\dfrac br,\dfrac cr\right),$$则$$(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\left(\dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{r},\dfrac{\sqrt{a^2+c^2}}{r},\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{r}\right),$$于是$$\begin{split} \dfrac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma}&=\dfrac{a+b+c}{\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2}+\sqrt{a^2+b^2}}\\
&\leqslant\dfrac{a+b+c}{\frac{\sqrt2}2(b+c)+\frac{\sqrt2}{2}(a+c)+\frac{\sqrt2}{2}(a+b)}\\
&=\dfrac{\sqrt2}{2}. \end{split}$$当 $a=b=c$ 即 $\sin\alpha=\sin\beta=\sin\gamma=\dfrac{\sqrt3}3$ 时，上式等号成立，故所求表达式最大值为 $\dfrac{\sqrt2}{2}$．
&\leqslant\dfrac{a+b+c}{\frac{\sqrt2}2(b+c)+\frac{\sqrt2}{2}(a+c)+\frac{\sqrt2}{2}(a+b)}\\
&=\dfrac{\sqrt2}{2}. \end{split}$$当 $a=b=c$ 即 $\sin\alpha=\sin\beta=\sin\gamma=\dfrac{\sqrt3}3$ 时，上式等号成立，故所求表达式最大值为 $\dfrac{\sqrt2}{2}$．
答案
解析
备注
