已知数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=\dfrac{4^n}{4^n-1}$，$n\in \mathbb N^\ast$．求证：$b_1\cdot b_2\cdot b_2\cdots b_n<2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，由于$${\ln}\dfrac{4^n}{4^n-1}<{\ln}\left(1+\dfrac1{4^n-1}\right)<\dfrac1{4^n-1},n\in\mathbb N^\ast.$$所以$$\sum_{k=1}^nb_k<\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{4^k-1}\leqslant\sum_{k=1}^n\dfrac1{3\cdot 4^{k-1}}<\dfrac13\cdot\dfrac1{1-\frac14}=\dfrac49<{\ln}2,$$因此$$b_1\cdot b_2\cdot b_2\cdots b_n<2.$$
答案
解析
备注
