坐标轴上有一只青蛙，初始位置在 $x=n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）处．青蛙每次只能向左跳到整点（坐标为正整数的点）位置或跳到原位置，且当青蛙位于 $x=k$ 处时到达 $x=1,2,\cdots,k$ 位置的概率相同．设青蛙从 $x=n$ 第一次跳到 $x=1$ 位置所跳次数的数学期望 $E_n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $E_2$；标注答案$2$解析当青蛙初始位置为 $x=2$ 时，设青蛙跳到 $x=1$ 需要的次数为 $i$，则分布列为\[\begin{array} {c|cccccc} \hline
i&1&2&3&\cdots&k&\cdots \\ \hline
p&\dfrac 12&\dfrac 14&\dfrac 18&\cdots&\dfrac{1}{2^k}&\cdots \\ \hline\end{array} \]于是\[E_2=\sum_{i=1}^{+\infty}\dfrac{i}{2^i}=\lim_{k\to \infty}\dfrac{-k-2}{2^k}+2=2.\] -
给出 $E_n$ 的一个递推公式，并求出 $E_5$．标注答案略解析根据题意，有\[E_n=\dfrac {E_n+E_{n-1}+\cdots+E_1}{n}+1,\]其中 $E_1=0$．于是\[E_n=\dfrac{E_{n-1}+E_{n-2}+\cdots+E_1+n}{n-1}.\]因此\[\begin{array} {c|ccccc}\hline
n&1&2&3&4&5 \\ \hline
E_n&0&2&\dfrac 52&\dfrac{17}6&\dfrac{37}{12}\\ \hline \end{array}\]所求的 $E_5=\dfrac{37}{12}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
