已知函数 $f(x)=x-\ln x$，方程 $f(x)=m$ 有两个实数解 $x_1,x_2$，求证：$x_1x_2\cdot (x_1+x_2)<2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $\dfrac{x_1}{x_2}=t$（$t>1$），则\[\begin{split} x_1&=\dfrac{t\ln t}{t-1},\\ x_2&=\dfrac{\ln t}{t-1},\end{split}\]欲证明不等式即\[\dfrac{t\ln^2t}{(t-1)^2}\cdot \dfrac{(t+1)\ln t}{t-1}<2,\]也即\[\dfrac{2^{\frac 13}(t-1)}{t^{\frac 13}(t+1)^{\frac 13}}-\ln t>0.\]设左侧函数为 $\varphi(t)$，则其导函数\[\varphi'(t)=\dfrac{2^{\frac 13}(t^2+4t+1)}{3t^{\frac 43}(t+1)^{\frac 43}}-\dfrac 1t,\]下面证明当 $t>1$ 时 $\varphi'(t)>0$，即当 $t>1$ 时，有\[2\left(t^2+4t+1\right)^3>27t(t+1)^4,\]也即当 $t>1$ 时，有\[(t-1)^4\cdot \left(2t^2+5t+2\right)>0.\]这样证明了 $\varphi(t)$ 在 $t>1$ 时单调递增，于是\[\varphi(t)>\varphi(1)=0,\]命题得证．
答案
解析
备注
