题目 已知曲线 $f(x)=ax+bx^2\ln x$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线是 $y=2x-1$． 问题1 求实数 $a,b$ 的值； 答案1 $1,1$ 解析1 根据题意，有函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=a+bx(1+2\ln x),\]进而由\[f(1)=1,f'(1)=2,\]解得 $(a,b)=(1,1)$． 备注1 问题2 若 $f(x)\geqslant kx^2+(k-1)x$ 对任意 $x\in (0,+\infty)$ 恒成立，求实数 $k$ 的最大值． 答案2 $1$ 解析2 根据题意，有\[\forall x>0,x+x^2\ln x\geqslant kx^2+(k-1)x,\]即\[\forall x>0,\ln x+\dfrac{2-k}x-k\geqslant 0.\]设不等式左侧函数为 $\varphi(x)$，分析端点可知 $k<2$，否则当 $x<{\rm e}^k$ 时，有\[\varphi(x)<\ln x-k<0,\]不符合题意．<br/>函数 $\varphi(x)$ 的导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{x-(2-k)}{x^2},\]于是其极小值，亦为最小值为\[\varphi(2-k)=\ln (2-k)+1-k\geqslant 0,\]进而可得 $k\leqslant 1$，因此 $k$ 最大值为 $1$． 备注2 本题也可以用分离常数法求解，得到$$\forall x>1,k\leqslant \dfrac{2+x\ln x}{x+1},$$记右侧函数为 $g(x)$，有$$g'(x)=\dfrac{x+\ln x-1}{(x+1)^2},$$从而有 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，所以 $g(x)$ 的最小值为 $g(1)=1$，从而得到 $k$ 的最大值为 $1$．