题目 已知函数 $f(x)=\ln x+x^2$． 问题1 若函数 $g(x)=f(x)-ax$ 在定义域内为增函数，求实数 $a$ 的取值范围； 答案1 $\left(-\infty,2\sqrt 2\right]$ 解析1 根据题意，有\[g'(x)=\dfrac 1x+2x-a.\]若函数 $g(x)=f(x)-ax$ 在定义域内为增函数，则\[\forall x>0,\dfrac 1x+2x-a\geqslant 0,\]解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,2\sqrt 2\right]$． 备注1 问题2 在 $(1)$ 的条件下，且 $a>1$，$h(x)={\rm e}^{3x}-3a{\rm e}^x$，$x\in [0,\ln 2]$，求 $h(x)$ 的极小值； 答案2 $-2a\sqrt a$ 解析2 根据题意，有\[h'(x)=3{\rm e}^{3x}-3a{\rm e}^x=3{\rm e}^x\cdot \left({\rm e}^x+\sqrt a\right)\cdot \left({\rm e}^x-\sqrt a\right),\]注意到$${\ln}\sqrt a\in\left(0,\dfrac 34\ln 2\right]\subseteq [0,\ln 2],$$于是 $h(x)$ 的极小值在 $x=\ln \sqrt a$ 处取的，为\[h\left(\ln \sqrt a\right)=-2a\sqrt a.\] 备注2 问题3 设 $F(x)=2f(x)-3x^2-kx$，$k\in\mathbb R$，若函数 $F(x)$ 存在两个零点 $m,n$（$0<m<n$）且满足 $2x_0=m+n$，问：函数 $F(x)$ 在 $(x_0,F(x_0))$ 处的切线能否平行于 $x$ 轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由． 答案3 不能 解析3 根据题意，有\[F(x)=2\ln x-x^2-kx,\]于是其导函数\[F'(x)=\dfrac 2x-2x-k.\]根据题意，函数 $F(x)$ 在 $(m,n)$ 有极大值点 $p$．\[\begin{array} {c|ccc}\hline<br/>x&(0,p)&p&(p,+\infty)\\ \hline<br/>F'(x)&+&0&-\\ \hline<br/>F(x)&\nearrow&{\rm lmax}&\searrow \\ \hline<br/>\end{array} \]于是欲探索命题即 $m+n$ 是否可以取得 $2p$．<br/>事实上，令 $h(x)=F(x)-F(2p-x)$，则由\[F''(x)=-\dfrac 2{x^2}-2,\]可得\[h''(x)=F''(x)-F''(2p-x)=-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{2}{(2p-x)^2}=\dfrac{8p(x-p)}{x^2(2p-x)^2},\]于是当 $0<x<p$ 时，$h''(x)<0$，结合 $h'(p)=h(p)=0$，可得当 $0<x<p$ 时，$h(x)<0$．因此\[F(m)-F(2p-m)<0,\]也即\[F(n)<F(2p-m),\]由于 $n,2p-m$ 均位于 $F(x)$ 的单调递减区间 $(p,+\infty)$ 上，因此\[n>2p-m,\]也即\[m+n>2p,\]这就意味着函数 $F(x)$ 在 $x_0$ 处的切线不能平行于 $x$ 轴． 备注3 事实上，有 $F'(x_0)<0$．