已知 $a,b,c>0$，$a+b+c=6$，求 $\dfrac{1}{2a}+\dfrac 1{ab}+\dfrac{1}{abc}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 12$
【解析】
根据题意，有\[\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{abc}
\geqslant 3\cdot \left(2a^3b^2c\right)^{-\frac 13},\]而\[6=a+b+c=\dfrac a3+\dfrac a3+\dfrac a3+\dfrac b2+\dfrac b2+c\geqslant 6\cdot \left(\dfrac{a^3b^2c}{3^3\cdot 2^2}\right)^{\frac 16},\]因此\[a^3b^2c\leqslant 3^3\cdot 2^2,\]等号当 $(a,b,c)=(3,2,1)$ 时取得，进而原式的最小值为 $\dfrac 12$．
\geqslant 3\cdot \left(2a^3b^2c\right)^{-\frac 13},\]而\[6=a+b+c=\dfrac a3+\dfrac a3+\dfrac a3+\dfrac b2+\dfrac b2+c\geqslant 6\cdot \left(\dfrac{a^3b^2c}{3^3\cdot 2^2}\right)^{\frac 16},\]因此\[a^3b^2c\leqslant 3^3\cdot 2^2,\]等号当 $(a,b,c)=(3,2,1)$ 时取得，进而原式的最小值为 $\dfrac 12$．
答案
解析
备注
