题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln x-a}{x}-m$（$a,m\in\mathbb R$）在 $x={\rm e}$ 时取得极值，且有 $2$ 个零点记为 $x_1,x_2$． 问题1 求实数 $a$ 的值，以及实数 $m$ 的取值范围； 答案1 $0$，$\left(0,{\rm e}^{-1}\right)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1+a-\ln x}{x^2}.\]根据题意，$f(x)$ 在 $x={\rm e}$ 处取得极值，因此 $a=0$．考虑函数 $y=\dfrac{\ln x}x$．\[\begin{array} {c|ccccc}\hline<br/>x&\to 0^+&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&\to +\infty\\ \hline<br/>\dfrac{\ln x}x&-\infty&\nearrow&\dfrac{1}{\rm e}&\searrow&0\\ \hline \end{array}\]因此实数 $m$ 的取值范围是 $\left(0,{\rm e}^{-1}\right)$． 备注1 问题2 求证：$\ln x_1+\ln x_2>2$． 答案2 略 解析2 不妨设 $x_1<{\rm e}<x_2$，只需要证明\[x_1>\dfrac{{\rm e}^2}{x_2}.\]考虑到 $x_1,\dfrac{{\rm e}^2}{x_2}$ 均在函数 $f(x)$ 的单调递增区间内，因此只需要证明\[f(x_2)=f(x_1)>f\left(\dfrac{{\rm e}^2}{x_2}\right),\]接下来证明\[\forall x>{\rm e},f(x)>f\left(\dfrac{{\rm e}^2}{x}\right).\]设\[\varphi(x)=f(x)-f\left(\dfrac{{\rm e}^2}{x}\right),\]则\[\varphi(x)=\dfrac{\ln x}x-\dfrac{x\cdot \ln\dfrac{{\rm e}^2}x}{{\rm e}^2},\]于是\[\varphi'(x)=(1-\ln x)\cdot \left(\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{{\rm e}^2}\right),\]因此当 $x>{\rm e}$ 时，有 $\varphi(x)$ 单调递增，因此\[\varphi(x)>\varphi({\rm e})=0,\]原命题得证． 备注2