在 $\triangle ABC$ 中，三个内角满足关系式 $y=2+\cos C\cdot \cos (A-B)-\cos^2C$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若任意交换两个角的位置，$y$ 的值是否会发生变化，并证明你的结论；标注答案不会解析根据题意，有\[\begin{split} y&=2+\cos C\cdot \left(\cos A\cdot \cos B+\sin A\cdot \sin B\right)-\cos^2C\\
&=2+\cos A\cos B\cos C+\cos C\left[\sin A\sin B+\cos(A+B)\right]\\
&=2+2\cos A\cos B\cos C,\end{split}\]于是任意交换两个角的位置，$y$ 的值不会发生变化． -
求 $y$ 的最大值．标注答案$\dfrac 94$解析不妨设 $C$ 为锐角．则\[\begin{split} y&\leqslant 2+\cos C-\cos^2C\leqslant \dfrac 94,\end{split}\]等号当 $A=B$，且 $\cos C=\dfrac 12$，即 $(A,B,C)=\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3\right)$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac 94$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
