已知 $f(x)={\rm e}^x-1-\dfrac{ax}{x-1}$，求证：当 $a\leqslant -1$ 时，$f(x)\cdot \ln x\geqslant 0$ 在 $(0,1)\cup (1,+\infty)$ 上恒成立．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
欲证明命题即\[\begin{cases} \forall x\in (0,1),{\rm e}^x-1-\dfrac{ax}{x-1}\leqslant 0,\\ \forall x\in (1,+\infty),{\rm e}^x-1-\dfrac{ax}{x-1}\geqslant 0,\end{cases}\]也即\[ \forall x\in (0,+\infty),a\leqslant \dfrac{\left({\rm e}^x-1\right)(x-1)}{x},\]因此只需要证明\[\forall x\in (0,+\infty),\dfrac{\left({\rm e}^x-1\right)(x-1)}{x}\geqslant -1,\]也即\[\forall x\in (0,+\infty),{\rm e}^x(x-1)\geqslant -1,\]记不等式左侧函数为 $\varphi(x)$，则其导函数\[\varphi'(x)={\rm e}^x\cdot x,\]因此函数 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，于是当 $x>0$ 时，有\[\varphi(x)>\varphi(0)=-1,\]原命题得证．
答案
解析
备注
