已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $S$，其外接圆半径为 $R$，三个内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$2R\left(\sin ^2A-\sin ^2C\right)=\left(\sqrt 3a-b\right)\sin B$．
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试理科数学（一测）
【标注】
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求角 $C$；标注答案$\dfrac{\pi}6$解析根据题意，有\[2R\cdot \sin (A+C)\cdot \sin (A-C)=\left(\sqrt 3a-b\right)\cdot \sin B,\]即\[\sin (A-C)=\sqrt 3\sin A-\sin B,\]也即\[\sqrt 3 \sin A=\sin (A-C)+\sin (A+C),\]于是\[\sqrt 3\sin A=2\sin A\cdot \cos C,\]解得 $C=\dfrac{\pi}6$．
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若 $\left(\dfrac {\sqrt S}{2R}\right)^2=\sin ^2A-\left(\sin B-\sin C\right)^2$，$a=4$，求 $c$ 及 $\triangle ABC$ 的面积．标注答案$c=\dfrac{17}4$，$S=\dfrac{15+8\sqrt 3}4$解析根据题意，有\[S=a^2-(b-c)^2,\]也即\[\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=4(p-b)(p-c),\]其中 $p$ 为 $\triangle ABC$ 的半周长．因此\[\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}=\dfrac 14,\]也即\[\tan \dfrac A2=\dfrac 14,\]从而\[\sin A=\dfrac{8}{17},\]由正弦定理，可得 $c=\dfrac {17}4$．又\[\begin{split}\sin B&=\sin (A+C)\\
&=\sin A\cdot \cos C+\cos A\cdot \sin C\\
&=\dfrac 8{17}\cdot \dfrac{\sqrt 3}2+\dfrac{15}{17}\cdot \dfrac 12\\
&=\dfrac{15+8\sqrt 3}{34},\end{split}\]于是\[S=\dfrac 12ac\sin B=\dfrac 12\cdot 4\cdot \dfrac{17}{4}\cdot \dfrac{15+8\sqrt 3}{34}=\dfrac{15+8\sqrt 3}4.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
