题目 某电视厂家准备在元旦期间举办促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出 $x_i$（万元）和销售量 $y_i$（万台）的数据如下：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{年份}&2011&2012&2013&2014&2015&2016&2017 \\ \hline \text{广告费支出}&1&2&4&6&11&13&19\\ \hline \text{销售量}&1.9&3.2&4.0&4.4&5.2&5.3&5.4 \\ \hline \end{array}\]参考公式：$$\hat b=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i y_i}-n\overline x\overline y}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i^2}-n{\overline x}^2}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline x\right)\left(y_i-\overline y\right)}{\sum\limits_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline x\right)^2} , \hat a=\overline y-\hat b\overline x.$$参考数据：$\sqrt 5=2.24 $． 问题1 若用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程； 答案1 $\hat y=2.84+0.17x$ 解析1 根据参考公式计算可得． 备注1 问题2 若用 $y=c+d\sqrt x$ 拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，可得回归方程 $\hat y=1.63+0.99\sqrt x$，经计算线性回归模型和该模型的 $R^2$ 分别为 $0.75$ 和 $0.88$，请用 $R^2$ 说明选择哪个回归模型更好； 答案2 选择 $\hat y=1.63+0.99\sqrt x$ 更好 解析2 略 备注2 更为精确的结果为\[\hat y=1.63033+0.991343\sqrt x.\] 问题3 已知利润 $z$ 与 $x,y$ 的关系为 $z=200y-x$．根据 $(2)$ 的结果回答下列问题：<br/>① 广告费 $x=20$ 时，销售量及利润的预报值是多少？<br/>② 广告费 $x$ 为何值时，利润的预报值最大？（精确到 $0.01$） 答案3 ① 当 $x=20$ 时，销售量的预报值为 $6.07$；利润的预报值为 $1193.04$．<br/>② 当 $x=9801$ 时，利润的预报值最大，为 $10127$ 解析3 根据题意，有\[z=200\left(1.63+0.99\sqrt x\right)-x,\]也即\[z=10127-\left(\sqrt x-99\right)^2.\]① 当 $x=20$ 时，销售量的预报值为 $6.07$；利润的预报值为 $1193.04$．<br/>② 当 $x=9801$ 时，利润的预报值最大，为 $10127$． 备注3