在直角坐标系中，直线 $l$ 的参数方程为 $\begin{cases}
x = -\sqrt 3t ,\\
y = 3+t,\\
\end{cases} $ 其中 $t$ 为参数，以坐标原点为极点，$x $ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho^2\cos ^2\theta+3\rho^2\sin ^2\theta =3$．
x = -\sqrt 3t ,\\
y = 3+t,\\
\end{cases} $ 其中 $t$ 为参数，以坐标原点为极点，$x $ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho^2\cos ^2\theta+3\rho^2\sin ^2\theta =3$．
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试理科数学（一测）
【标注】
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写出曲线 $C$ 的参数方程；标注答案$\begin{cases} x=\sqrt 3\cos\theta,\\ y=\sin\theta,\end{cases}$ 其中 $\theta$ 为参数解析根据题意，曲线 $C$ 的直角坐标方程为\[x^2+3y^2=3,\]也即\[\dfrac{x^2}{3}+y^2=1,\]于是其参数方程为\[\begin{cases} x=\sqrt 3\cos\theta,\\ y=\sin\theta,\end{cases}\]其中 $\theta$ 为参数．
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过曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 作与 $l$ 夹角为 $45^{\circ}$ 的直线，交 $l$ 于点 $A$，求 $|PA|$ 的最大值与最小值．标注答案最大值为 $\dfrac{3\sqrt 6+2\sqrt 3}2$，最小值为 $\dfrac{3\sqrt 6-2\sqrt 3}2$解析直线 $l:x+\sqrt 3 y-3\sqrt 3=0$，过 $P\left(\sqrt 3\cos\theta,\sin\theta\right)$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $H$，则\[\begin{split} PA&=\sqrt 2\cdot PH\\
&=\sqrt 2\cdot \dfrac{3\sqrt 3-\sqrt 3\left(\sin\theta+\cos\theta\right)}{2}\\
&=\dfrac{3\sqrt 6-2\sqrt 3\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}4\right)}{2},\end{split}\]因此所求 $|PA|$ 的最大值为 $\dfrac{3\sqrt 6+2\sqrt 3}2$，最小值为 $\dfrac{3\sqrt 6-2\sqrt 3}2$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
