已知函数 $f(x)=|2x-1|-|x+2|$．
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试理科数学（一测）
【标注】
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存在 $x_0 \in \mathbb R$，使得 $f(x_0)+2a^2 \leqslant 4a$，求实数 $a$ 的取值范围；标注答案$\left[-\dfrac 12,\dfrac 52\right]$解析根据题意，有\[\exists x\in\mathbb R,f(x)\leqslant -2a^2+4a,\]也即\[\min_{x\in\mathbb R}\{f(x)\}\leqslant -2a^2+4a,\]也即\[2a^2-4a-\dfrac 52\leqslant 0,\]解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 12,\dfrac 52\right]$．
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设在 $(1)$ 中求得的取值范围中的最大数为 $a_0$，若 $\dfrac {1}{a^2}+\dfrac {4}{b^2}+\dfrac {9}{c^2}=a_0$，则当 $a,b,c$ 取何值时，$a^2+4b^2+9c^2$ 取得最小值，并求出该最小值．标注答案当 $a,b,c\in\left\{\dfrac{2\sqrt{35}}5,-\dfrac{2\sqrt{35}}5\right\}$ 时 $a^2+4b^2+9c^2$ 取得最小值 $\dfrac{392}5$解析根据柯西不等式有\[\dfrac 52=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac 4{b^2}+\dfrac 9{c^2}\geqslant \dfrac{(1+4+9)^2}{a^2+4b^2+9c^2},\]因此\[a^2+4b^2+9c^2\geqslant \dfrac{392}5,\]等号当\[a^2=b^2=c^2=\dfrac {28}5\]时取得，进而可得所求代数式的最小值为 $\dfrac{392}5$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
