题目 已知数列 $\{a_n\}$ 满足，$a_1=\dfrac12$，$a_{n+1}=\dfrac{(n+1)(2a_n-n)}{a_n+4n}(n\in\mathbb N^{\ast})$． 问题1 求 $a_2,a_3,a_4$； 答案1 $a_2=0,a_3=-\dfrac34,a_4=-\dfrac85$ 解析1 由题可知 $a_{n+1}=\dfrac{(n+1)(2a_n-n)}{a_n+4n}$ 等价于$$\dfrac{a_{n+1}}{n+1}=\dfrac{2\cdot\frac{a_n}{n}-1}{\frac{a_n}{n}+4},$$令 $b_n=\dfrac{a_n}{n}$，则$$b_{n+1}=\dfrac{2b_n-1}{b_n+4},b_1=\dfrac{a_1}{1}=\dfrac12$$其对应不动点方程为 $x=\dfrac{2x-1}{x+4}$，解得 $x=-1$．<br/>因此$$b_{n+1}+1=\dfrac{3(b_n+1)}{b_n+4},$$即$$\dfrac{1}{b_{n+1}+1}=\dfrac{1}{b_n+1}+\dfrac13,$$而 $\dfrac{1}{b_1+1}=\dfrac23$．<br/>解得 $b_n=\dfrac{3}{n+1}-1$，$a_n=\dfrac{n(2-n)}{n+1}$ 进而可得 $a_2=0,a_3=-\dfrac34,a_4=-\dfrac85$； 备注1 问题2 已知存在实数 $k$，使得数列 $\left\{\dfrac{a_n+kn}{a_n+n}\right\}$ 为公差为 $-1$ 的等差数列，求 $k$ 的值； 答案2 $k=-2$ 解析2 由（1）知$$\dfrac{a_n+kn}{a_n+n}=\dfrac{k-1}{3}n+\dfrac{k+2}{3},$$因此当 $k=-2$ 时，该数列为公差为 $-1$ 的等差数列． 备注2 问题3 记 $b_n=\dfrac{1}{(\sqrt3)^{n+2}\cdot a_{n+2}}(n\in\mathbb N^{\ast})$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：$S_n>-\dfrac{2\sqrt3+1}{12}$． 答案3 略 解析3 要证题中不等式只需证$$\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[\dfrac{1}{{(\sqrt3)}^i}\cdot\dfrac{i+3}{i(i+2)}\right]}<\dfrac{2\sqrt3+1}{4},$$考虑前 $n$ 个奇数项的和为$$\sqrt3\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[\dfrac{1}{3^i}\cdot\dfrac{2i+2}{(2i-1)(2i+1)}\right]}\leqslant\sqrt3\left(\dfrac49+\dfrac{2}{45}\cdot\dfrac32\right).$$前 $n$ 个偶数项的和为$$\sum\limits_{i=1}^{n}{\left[\dfrac{1}{3^i}\cdot\dfrac{2i+3}{2i(2i+2)}\right]}\leqslant\dfrac{5}{24}+\dfrac{7}{24}\cdot\dfrac16.$$而 $\sqrt3\left(\dfrac49+\dfrac{2}{45}\cdot\dfrac23\right)+\dfrac{5}{24}+\dfrac{7}{24}\cdot\dfrac16<\dfrac{2\sqrt3+1}{4}$，因此命题得证． 备注3