如图所示，在长方体 $ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ 中，$ AB=AD=1 $，$ AA_{1}=2 $，$ M $ 是棱 $ CC_{1} $ 的中点．
【难度】
【出处】
2010年高考湖南卷（文）
【标注】
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求异面直线 $ A_{1}M $ 和 $ C_{1}D_{1} $ 所成的角的正切值；标注答案$\sqrt 2 $解析因为 $ C_{1}D_{1}\parallel B_{1}A_{1} $，所以 $\angle {M}{{A}_{1}}{{B}_{1}}$ 为异面直线 $ A_{1}M $ 与 $ C_{1}D_{1} $ 所成的角．
因为 $ A_{1}B_{1}\perp $ 平面 $ BCC_{1}B_{1} $，所以 $\angle A_{1}B_{1}M=90^\circ$．而\[A_{1}B_{1} =1,B_{1}M = \sqrt {{B_1}{C_1}^2 + {M{C_1}}^2} = \sqrt 2 ,\]故\[\tan \angle {M{A_1}{B_1}} = \dfrac{{{B_1}M}}{{{A_1}{B_1}}} = \sqrt 2 ,\]即异面直线 $ A_{1}M $ 和 $ C_{1}D_{1} $ 所成的角的正切值为 $\sqrt 2 $． -
证明：平面 $ ABM\perp $ 平面 $ A_{1}B_{1}M$．标注答案略解析由 $ A_{1}B_{1}\perp $ 平面 $ BCC_{1}B_{1} $，$BM \subset $ 平面 $ BCC_{1}B_{1} $，得\[ A_{1}B_{1}\perp BM. \quad \cdots \cdots ① \]由（1）知，\[{B_1}M = \sqrt 2 ,\]又\[BM = \sqrt {{BC}^2 + {CM}^2} = \sqrt 2 , {B_1}B = 2,\]所以\[{{B_1} M}^2 + {BM}^2 = {{B_1}B}^2,\]从而\[BM \perp {B_1}M, \quad \cdots \cdots ② \]又 $A_{1}B_{1} \cap B_{1}M=B_{1}$，再由 $ ① $，$ ② $ 得 $ BM\perp $ 平面 $ A_{1}B_{1}M $．
而 $BM \subset $ 平面 $ ABM $，因此平面 $ ABM\perp $ 平面 $ A_{1}B_{1}M $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
