为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 $8 {\mathrm{km}}$ 的 $ A、B $ 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过 $ A、B $ 两点的直线为 $ x $ 轴，线段 $ AB $ 的垂直平分线为 $ y $ 轴建立平面直角坐标系（下图）．考察范围到 $ A、B $ 两点的距离之和不超过 $10$ ${\mathrm{km}}$ 的区域．
【难度】
【出处】
2010年高考湖南卷（文）
【标注】
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求考察区域边界曲线的方程：标注答案略解析设边界曲线上点 $ P $ 的坐标为 $ \left(x,y\right) $，则由\[\left| PA \right| + \left| PB \right| = 10, \]由此，点 $ P $ 在以 $ A、B $ 为焦点，长轴长为 $2a=10$ 的椭圆上，此时短半轴长为\[b = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3,\]所以考察区域边界曲线（如图）的方程为\[\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.\]
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如图所示，设线段 ${P_1}{P_2}$ 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 $0.2 {\mathrm{km}}$，以后每年移动的距离为前一年的 $2$ 倍．问：经过多长时间，点 $ A $ 恰好在冰川边界线上？标注答案略解析易知过点 $ P_{1}、P_{2} $ 的直线方程为\[4x-3y+47=0.\]因此点 $ A $ 到直线 $ P_{1}P_{2} $ 的距离为\[d = \dfrac{{\left| { - 16 + 47} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( - 3\right)}^2}} }} = \dfrac{{31}}{5},\]设经过 $ n $ 年，点 $ A $ 恰好在冰川边界上，利用等比数列求和公式可得\[
\frac{{0.2\left( {2^n - 1} \right)}}
{{2 - 1}} = \frac{{31}}
{5},
\]解得\[ n=5.\]即经过 $ 5 $ 年，点 $ A $ 恰好在冰川边界线上．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
